第25周 最大公約數

專題簡析：

幾個數公有的約數叫做這幾個數的公約數，其中最大的一個叫做這幾個數的最大公約數。我們可以把自然數a、b的最公約數記作（a、b），如果（a、b）=1，則a和b互質。

求幾個數的最大公約數可以用分解質因數和短除法等方法。

例題1 一張長方形的紙，長7分米5釐米，寬6分米。現在要把它裁成一塊塊正方形，而且正方形邊長為整釐米數，有幾種裁法？如果要使裁得的正方形面積最大，可以裁多少塊？

分析 7分米5釐米=75釐米，6分米=60釐米。因為裁成的正方形的邊長必須能同時整除75和60，所以邊長是75和60的公約數。75和60的公約數有1、3、5、15，所以有4種裁法。

如果要使正方形面積最大，那麼邊長也應該最大，應該取75和60的最大公約數15作為正方形的邊長，所以可以裁（75÷15）×（60÷15）=20塊。

練習一

1，把1米3分米5釐米長、1米5釐米寬的長方形紙，裁成同樣大小的正方形，至少能裁多少塊？

2，一塊長45釐米、寬30釐米的長方形木板，把它鋸成若干塊正方形而無剩餘，所鋸成的正方形的邊長最長是多少釐米？

3，將一塊長80米、寬60米的長方形土地劃分成面積相等的小正方形，小正方形的面積最大是多少？

例題2 一個長方體木塊，長2。7米，寬1。8分米，高1。5分米。要把它切成大小相等的正方體木塊，不許有剩餘，正方體的稜長最大是多少分米？

分析 2。7米=270釐米，1。8分米=18釐米，1。5分米=15釐米。要把長方體切成大小相等的正方體，不許有剩餘，正方體的稜長應該是長、寬、高的公約數。現要求正方體的稜長最大，所以稜長就是長、寬、高的最大公約數。

（270，18，15）=3，3釐米=0。3分米

練習二

1，一個長方體木塊的長是4分米5釐米、寬3分米6釐米、高2分米4釐米。要把它切成大小相等的正方體木塊，不許有剩餘，求所切正方體木塊的稜長最長是多少釐米？

2，有50個梨，75個橘子和100個蘋果，要把這些水果平均分給幾個小組，並且每個小組分得的三種水果的個數也相同，最多可以分給幾個小組？

3，五年級三個班分別有24人、36人、42人參加體育活動，要把他們分成人數相等的小組，但各班同學不能打亂，最多每組多少人？每班各可以分幾組？

例題3 有三根鋼管，它們的長度分別是240釐米、200釐米和480釐米，如果把它們截成同樣長的小段，每小段最長可以是多少釐米？

分析 要把三根鋼管截成同樣長的小段，每小段的長度數應該是240、200和480的公約數，而每小段要取最長，也就是求240、200和480的最大公約數。240、200和480的最大公約數是40，所以每小段最長是40釐米。

練習三

1，有一個長方體木塊，長60釐米、寬40釐米，高24釐米。如果要切成同樣大小的小正方體，這些正方體的稜長最長是多少釐米？

2，用一張長1072毫米、寬469毫米的長方形紙，剪成面積相等的正方形，並且最後沒有剩餘，這些正方形的邊長最長是多少？

3，工人加工了三批零件，每加工一批零件，除了王師傅比其他工人多加工若干個外，其他工人加工的都同樣多。已知他們第一批共加工2100個，其中王師傅比每個工人多加工7個；第二批加工1800個，其中王師傅比每個工人多加工6個；第三批加工1600個，其中王師傅比每個工人多加工13個。這批工人最多有多少人？

例題4 一條道路由甲村經過乙村到丙村。已知甲、乙村相距360米，乙、丙村相距675米。現在準備在路邊裁樹，要求相鄰兩棵樹之間距離相等，並在甲、乙兩村和乙、丙兩村的中點都要種上樹，求相鄰兩棵樹之間的距離最多是多少米？

分析 由於甲乙、乙丙的兩村中點各要種上一棵樹，所要要將360÷2=180米、675÷2=337。5米平均分成若干段，並且使每段的長度最長。因為（675、360）=45，而180=360÷2，337。5=675÷2，所以，45÷2=22。5，即相鄰兩棵樹之間距離最多是22。5米。

練習四

1，一條公路由A經B到C。已知A、B相距300米，B、C相距215米。現在路邊植樹，要求相鄰兩樹間的距離相等，並在B點及AB、BC的中點上都要植一棵，那麼兩樹間的距離最多有多少米？

2，有336支鉛筆，252塊橡皮，210個文具盒，用這些文具，最多可以分成多少份同樣的禮物？在每份禮物中，鉛筆、橡皮、文具盒各有多少？

3，甲數是36，甲、乙兩數的最小公倍數是288，最大公約數是4，乙數是多少？

例題5 用一張長1072毫米、寬469毫米的長方形紙，剪成面積相等的正方形，並且最後沒有剩餘，這些正方形的邊長最長是多少？

分析 前面的例題已經告訴了我們，解決這道題只要求出長方形長和寬的最大公約數就行了。但是這題中，長和寬的數比較大，最大公約數比較難求出，這裡再介紹一種求兩個數的最大公約數的方法。

第一步：1072÷469，餘134；

第二步：469÷134，餘67；

第三步：134÷67，沒有餘數，所以用67毫米為正方形的邊長來剪，正好能剪（1072÷67）×（469÷67）=112個正方形，即這些正方形的邊長最大是67毫米。

這種求兩個較大數的最大公約數的方法叫輾轉相除法。

練習五

1，用輾轉相除法求568和1065的最大公約數。

2，試用輾轉相除法判斷1547與3135是否互質。

3，判斷11111/15015是不是最簡分數。