例題:
如圖,AB是⊙O的直徑,弦CD⊥AB,垂足為H,連結AC,過弧BD上一點E作EG∥AC交CD的延長線於點G,連結AE交CD於點F,且EG=FG,連結CE。
1。 求證:△ECF∽△GCE;
2。 求證:EG是⊙O的切線;
3。 延長AB交GE的延長線於點M,若tanG=3/4,AH=3√3,求EM的值。
分析:
1。 由AC∥EG,垂徑定理即可推出∠G=∠CEF,再透過∠ECF=∠GCE,即可得到△ECF~△GCE。
2。 根據圓的切線定義,連線OE後,只要能證明OE⊥GE,則GE就是⊙O的切線。
3。 根據已知條件,先計算出⊙O的半徑,再證明
△AHC~△MEO,然後根據相似三角形的邊對應成比例即可得到EM的值。
【解答過程】
1。 證明:
∵ AC∥EG,
∴ ∠G=∠ACG。
∵ AB⊥CD,
∴ 弧AD=弧AC,
∴ ∠CEF=∠ACG,
∴ ∠G=∠CEF。
∵ ∠ECF=∠GCE,
∴△ECF∽△GCE。
2。 證明:
如圖,連線OE,
∵ GF=GE,
∴ ∠GFE=∠GEF=∠AFH。
∵ OA=OE,
∴ ∠OAE=∠OEA,
∵∠AFH+∠FAH=90°,
∴ ∠GEF+∠AEO=90°,
∴ ∠GEO=90°,
∴ GE⊥OE,
∴ EG是⊙O的切線。
3。 解:如圖,連線OC。
設⊙O的半徑為r.
∵ ∠ACH=∠G,
∴ tan∠ACH=tan∠G=3/4。
在Rt△AHC中,tan∠ACH=AH/CH,
∵ AH=3√3,
∴ CH=4√3。
在Rt△HOC中,
∵ OC=r,
∴ OH=r﹣3√3,CH=4√3,
所以,由勾股定理得:
OH^2+CH^2=OC^2,
即 (r-3√3)^2+48=r^2,
解得 r=25√3/6。
又∵ GM∥AC,
∴∠CAH=∠M。
∵ ∠OEM=∠AHC,
∴ △AHC∽△MEO,
∴ AH/ME=HC/EO,
即 3√3/ME=4√3/(25√3/6)
∴ EM=25√3/8。