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《下落小貓與基礎物理學》

一本。

喜歡魔術的朋友經常會為魔術師眼花繚亂的手法感到驚奇。

紙牌魔術

就是魔術師們經常表演的一種魔術形式。魔術師在使用紙牌進行魔術表演的時候經常會涉及到“

洗牌

”的操作。今天我們就帶大家來看一看洗牌的“魔法”。

你是怎樣洗牌的呢？我們許多人的洗牌方式都很不起眼，甚至有的朋友就是把牌鋪在桌子上攤成一堆，再把牌打亂。今天您算是來著了，我們來講講怎麼像一個專業人士一樣洗牌。

如何完美洗牌

拿一副牌然後把他們分成數量相等的兩摞（我們假定你手裡拿的是一副標準的52張的撲克牌，也就是說有偶數張）。現在我們把這兩摞牌完美地交疊排列，也就是說按這樣的順序：第一摞的第一張牌、第二摞的第一張牌、第一摞的第二張牌、第二摞的第二張牌，以此類推。這樣洗好的牌就是所謂的“完美洗牌”（perfect shuffle）

威爾·休斯敦展示如何完美洗牌（來源：https：//youtu。be/2TTrHmFC2bM）

在進行了一次完美洗牌操作後，你的牌組會被按照兩種方式中的一種被洗牌重組。如果你的第一摞牌是原來牌組的上半部分，那麼洗好之後的牌組的第一張牌就是原來牌組的第一張牌，而洗好之後的牌組的最後一張牌則是原來牌組的最後一張牌——這就是所謂的“外洗法（out-shuffle）”，這樣一來牌組的首張牌和最後一張牌相當於是固定住了，它們保持了原始的位置。而其他的牌則是被交疊在了一起。

如果你和我們一樣都不是魔術師的話，你可以一步一步、一張一張慢慢來完成這個洗牌操作。如果你是一個紙牌玩家，或者是像威爾·休斯敦這樣的傑出魔術師，你可以幾乎瞬間完成這個操作！

如果你交換一下你的兩摞牌組，再按照同樣的方式把這兩摞牌交疊起來，就可以得到另一種洗牌方式，即所謂的“內洗法（in-shuffle）”。

外

洗

法

假設你的牌組有12張牌，它們由上到下按這個順序排列：

A，2，3，4，5，6，7，8，9，J，Q

我們把它們從中間分成兩摞：

第一摞是A，2，3，4，5，6；第二摞是7，8，9，J，Q

那麼外洗法就是把牌按照這個順序重新排列：

A，7， 2， 8， 3，9，4，10， 5， J， 6，Q

第一張牌是A，最後一張牌是Q，和洗牌之前的原始牌組中的位置是一樣的。

內

洗

法

這次我們先交換一下牌組，因此第一摞牌就變成了原始牌組的下半部分：

7，8，9，J，Q

而原始牌組的上半部分變成了第二摞牌：

A，2，3，4，5，6

內洗法就是把牌組按這個順序重新排序：

7，A， 8， 2，9， 3，10， 4，J， 5， Q， 6

有了完美洗牌之後，魔術師能做什麼？

魔術師威爾·休斯敦

我們有幸可以看到常駐倫敦帝國學院和皇家音樂學院表演科學中心的魔術師威爾·休斯敦是怎樣進行完美洗牌操作的。如你所見，威爾·休斯敦對紙牌彷彿有著魔法一樣的掌控力，他甚至可以進行完美洗牌的變種操作——從一張一張交疊變成兩張兩張交疊。他對紙牌的操縱令人難以置信。

“魔術師對於把不可能的是變為現實很感興趣，”休斯敦說。“能夠知曉牌組被搞混搞亂後會發生什麼也屬於這一範疇。”假如你想從一個排列成特殊順序的牌組開始，但是又想讓觀眾以為牌組已經被完全洗亂。“魔術師不會只靠嘴皮說服觀眾的！”休斯敦向我們保證。

“我們知道外洗法可以保證牌組的首尾兩張不變。對於一副標準的52張的撲克牌，如果你利用外洗法進行了八次完美的洗牌操作，整副牌組最後都會恢復到原始的順序。誠然這會費一點時間，但如果你想在一開始搞一點小把戲，讓觀眾以為你已經把牌組完全洗亂了，不妨就連續做八次外洗法洗牌。其他人百分百會相信牌組已經被洗亂了，因為他們確實看到你把牌混了好幾次，但事實上牌組已經按照你想要的順序準備好了。”

來一點數學吧！

下面來點數學！我們看看為什麼八次“外洗”之後牌組會復原。我們對休斯敦所說的八次外洗法能夠把52張撲克牌組成的牌組復原這件事深感好奇！事實上有許多數學上的方法可以對此進行證明。但是我們要介紹的是一種最直接明顯的方法。這種方法由數學家——同時也是一位魔術師，Tori Noquez提出。

這裡我們感興趣的是原始牌組中卡牌的順序，

所以我們不管牌的大小和花色，只把它們按照在原始牌組中的位置進行標號

。同時為了在數學上方便一點，我們把最上面也就是第一張牌標記為0，第二張牌為1，以此類推。假設我們手頭有一副標準的52張的撲克牌（事實上這種數學上的標記對於任何偶數張數的牌組都是適用的），我們把這些牌標記為：

0，1，2，3，…，49，50，51

這裡0代表第一張牌，51代表最後一張牌。

外洗法首先將牌組分成兩摞，上半部分作為第一摞牌（0，1，…，25），下半部分作為第二摞牌（26，27，…，51），再把它們按照下面的順序排列：

0，26，1，27，2，…，24，50，25，51

第一張牌，也就是標號為0的牌，在洗過之後仍然在第一位，也就是0位置。同樣最後一張牌仍然是標號51的牌，

所以我們只關心中間部分也就是標號1到50的牌在外洗操作前後發生了什麼就可以了。

第一摞牌也就是原牌組上半部分，標號x滿足1≤x≤25的牌，在一次外洗操作後被移到了位置2x，也就是說標號1的牌現在在位置2，標號2的牌在位置4，以此類推，最後標號25的牌在位置50。

而第二摞牌也就是原始牌組下半部分的牌，標號x滿足26≤x≤50，在新牌組中它們被移到了位置2x-51。也就是說標號為26的牌在位置1（因為2×26-51=1），以此類推最後標號50的牌在位置49。

所以對於標號x（其中1≤x≤50）的卡牌：

一次外洗操作使得卡牌移到了位置2x（mod 51）；

兩次外洗操作使得卡牌移到了22x（mod 51）；

以此類推，一般情況，k次外洗操作把標號x的牌移到了位置2kx（mod 51），為了把牌組復原成原始順序，我們需要找到滿足下面關係式的k：

2kx ≡ x（mod 51）

也就是滿足關係式：

2k≡ 1（mod 51）

2的冪次的前八個的數值如下：

從這裡我們可以看到八次外洗操作就能夠把我們的牌組復原了，這也是透過外洗法復原牌組的最小次數。

同樣的數學技巧可以針對任意數量N的牌組（但是要記住這裡的N是偶數，這樣你才可以把牌組等分）。要使得牌組順序復原的話，我們需要找到滿足下面關係式的最小的k值：

2k≡ 1（mod N-1）

所以k次外洗法操作就把N張牌組成的牌組復原了。

如果是不完美洗牌，魔術師能做什麼？

把牌直接搞亂混在一起是我們最熟知的一種“不完美”洗牌方法

所謂“不完美”的洗牌也就是通常我們認為的正常的、公平的洗牌。“不完美的洗牌可能也是最好的洗牌，因為

洗牌本身的目的就是把紙牌混成隨機的順序

。”休斯敦如是說道。要想做一次不完美的洗牌，你可能要把牌大概其分成兩半，然後把兩部分的牌按一個隨機的順序重新排列，比如隨機替換兩三張牌，當然也可以換一張牌。正是兩部分的牌重新交疊排列的方式體現了隨機性，而這也正是使得一次洗牌是“公平的”的關鍵所在。

數學家們對“不完美的洗牌”也很感興趣。Persi Diaconis是一位統計學家，同時也是一個傑出的魔術師，他主要做一些工作來尋找把一副牌組隨機混合的最優洗牌次數。Diaconis研發了一個流程，

可以先把後面三分之一的牌拿掉，然後把剩餘的牌近似分成兩部分，再按照之前描述的方案進行一次不完美洗牌操作，最後再把之前拿掉的三分之一的牌放在最上面

。“如果你把這個程式重複七次，就會得到洗牌次數的最佳平衡並且最後把牌的順序徹底打亂。”

這個數學上的見解在諸如賭場一類的場所是很有用的，因為在這些場所人們獲取到的錢的數目很依賴洗牌的隨機性：“牌洗得越公平隨機，對於賭場而言是越有利的，因為他們可以充分利用他們在遊戲規則中的數學優勢。這意味著他們會比玩家贏得更多。”然而每次莊家洗牌的時候玩家並不是在打牌或者下注，所以賭場需要制定一個洗牌的流程來平衡他們從玩家手中拿到的賭注的數目。

完美的魔術

不完美洗牌的目的在於你不想得到一副有特定的、可以預測的順序的牌組。一想到牌組的特殊順序，我們想的就是牌組按大小順序、按花色順序排好，就像我們新買的撲克牌組一樣。但是休斯敦的一個最有意思的紙牌魔術就是基於上述我們對於牌組順序的固有認知。

威爾·休斯敦和吉姆·卡特在節目The Next Great Magician中

（影片連結：https：//vimeo。com/191677714）

在休斯敦和他的觀眾把牌組完全混合好之後，我們毫不驚訝地發現，這些牌已經“看上去”是隨機排列的了。而這些牌地隨機性在魔術結尾觀眾的巨大震驚中再一次得到了強調。

儘管休斯敦不能夠透露魔術背後的秘密，但是他還是告訴了我們是什麼驅使了他去設計了這樣一個魔術：“我一直在琢磨順序的問題，為什麼人們會覺得有的排列順序是重要的，而有的排列順序就不重要呢？舉個例子，一副搞混後的牌組已經是很無序的了，而人們關心的一副新買的牌組的順序——他們覺得這個很重要。我覺得設計一個小把戲來看看一個看似不‘重要’的順序實際上會有多‘重要’，這應該挺好玩的。”

我們已經瞭解瞭如何進行完美洗牌，但是實際上當我們在家裡和朋友打牌，或者在賭場下注的時候，我們真正想要的是“不完美”——正如我們看到的，除了其中的“魔法”之外，

簡簡單單的洗牌中還蘊含了大量的數學技巧

，有機會我們再和大家更詳細地說明。

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》

。

這是一本從往下跳落的貓探討物理學的科普小書。作為人類的親密動物夥伴，貓的行為當然引起了不少人的好奇。至少從十九世紀中葉開始，一隻往下跳落的貓究竟是如何穩當地站在地面上的，這個問題就一直困擾著人類。在這段有趣和令人大開眼界的歷史中，物理學家格雷戈裡·格布林試圖理解貓的翻正反射現象，而理解這一現象的科學探究，為解決數學、地球物理學、神經科學和人類太空探索中的謎題提供了重要見解。作者還在本書的結尾為我們奉上了一章科學家與他們的貓咪的故事，讓讀者在收穫科學知識的同時也可以瞭解科學家饒有趣味的生活細節。

【

互

動

問題：你還知道和撲克牌有關的數學知識？

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Dannis