分數的加減法，常用的方法是通分，利用分數的基本性質，透過求出各個分母的的最小公倍數，把所有分數通分成同分母后，再將分子相加減後約分。

分數加減法運算，經常會以“速算與巧算”的方式出現在試卷中，讓很多同學不知從何下手：因為這些題根本無法用通分的方式來計算，那樣的計算量實在太大太大！

分數的加減法，雖然只是五年級數學的內容，卻是六年級數學“分數的乘除”的基礎，同時也是小升初考試的重點和難點，因為它的變化多樣，很多名校招生和分班考都會經常出現。

關於分數的速算與巧算，最簡單的就是分母相同，然後結合分數整數的計算方法和技巧即可。但是，今天我們要討論的重點，是那些分母不相同，卻又有規律可循的巧算題。這種型別的分數加減法，如果靠通分來解的話，再勤奮的人都會知難而退。

任何分數加減法巧算問題，都離不開分母的兩種特殊規律

：一是分母呈

倍數遞增

的連加；二是分母可以分解成不同因數的乘積，且前後兩個分母的

因數是首尾相連的

。怎麼利用分母的規律，來巧算分數的加減法問題呢？

從簡單的同分母分數的加減法巧算開始入手，只要進入到數學邏輯的“快車道”，一切難題都能迎刃而解……至於分子的規律，幾乎可以忽略不計！因為它要麼是根據分母規律的變化而變化，要麼就是透過“湊數”的方式來迎合分母的規律。

01同分母分數的加減

同分母分數的加減，無非就是在整數的巧數基礎之上，再進行二次轉化的問題。根據分數與除法的關係，實際上就是多算一步除法而已。

從1/100一直加到99/100：

第一步，把問題看作是從1一直加到99；如果這樣連續加兩次的話，就是99個100。一次的話就是99/2個100；

第二步：除以100後，就是99/2；所以，答案是49又1/2。

分母從2到50，所有真分數的和

，從同分母分數和中，很容易就能找到規律：

分母為2：1/2

分母為3：1

分母為4：1+1/2

分母為5：2

發現其中的規律了嗎？把分母為奇數和偶數的分數和分開來的話，

假設

分母為奇數的規律是：3、5、7、9、11……分別對應的分數和是1、2、3、4、5……

透過分母為7和9的分數來

驗證

一下這個規律的有效性：

分母為7時，分子的和為：1+2+3+4+5+6=3 x 7；

分母為9時，分子的和為：1+2+3+4+5+6+7+8=4 x 9；

依此類推，分母為奇數n時，所有的分子分別是從1到n-1，把n-1分成兩組，兩兩都能組合成等於分母的和；

類似地，當分母為偶數m（剛才是n，現在雙是m；如果用字母的方式替代，孩子不太理解時，可以直接忽略字母）真分數的分子分別是從1到m-1的整數（當分子等於分母時，它就不再是真分數，從題目中的規律可以看出），因為m是偶數，所以m-1就一定是奇數；當奇數個連續的整數分成兩組，使組合的和等於分母后，就必定會多出一個數來，而這個數剛好是分母的一半，約分後就是1/2。

說得有點繞！

從規律中總結，孩子更容易理解！

1/6+2/6+3/6+4/6+5/6=

分子等於（1+5）+（2+4）+3，括號裡的組合與分母約分後等於1，3剛好是6的一半，所以分母為6的所有真分數的和為2又1/2。

分母為8的所有真分數的和，等於3又1/2！如果有兩4/8，它就等於4，剛好是分母的一半，減去1/2就是3又1/2了。

透過這個看似繁瑣的解析過程，不用給孩子一個似懂非懂的公式，只看規律，孩子獨立思考後，也不難總結出以下算式來：

因為分母為49時，所有真分數的和是（49-1）/2=24。所以，從3開始，分母為奇數的所有真分數和為1+2+3+……+24。

分母為偶數的所有真分數和，把它為成整數部分加1/2看：從4開始，整數部分的和與分母為奇數的的和一樣：1+2+3+……+24；分數部分都是1/2，從第一個1/2到最後的24又1/2，總共有25個1/2。

如果孩子對於“代數”的理解能夠接受的話，進一步精練地總結一下，這個題型如果分母以偶數結束的話，求和公式也就出來了！

（1+2+3+……+n/2） x 2+n/2 （n為偶數且為最大的分母）

關於整數的連加問題，用數形結合的方法，也可以把它看成是圖形求面積的問題。

把1看作是邊長為1的正方形，以1加到10為例：

方法

一

，大三角形邊長為10的等邊直角三角形，另加10個邊長為1的等邊直角三角形。計算公式為：（10X10）/2+10/2；

方法二：

兩個同樣的圖形，其中一個旋轉後平移，剛好可以組成一個長方形，這個長方形的寬不變，但長加了1；計算公式為：（10x11）/2。

透過下面這個動圖，把複雜的算術問題，一下子轉換成了直觀的長方形面積問題。是不是簡單多了？

02一半的一半

所謂一半的一半，無非就是分母始終呈倍數變化而已！透過數形結合的方法，理解了這個問題的特點後，就能解決很多看似複雜的所有相關問題。

簡便計算與奧數之間距離有多遠？我說只是一小步，你肯定不會相信；那就讓事實說話吧！

這幾道典型的分數加減法的奧數題，你會不？別急，先看完下面這個動圖就會了！

1/2+1/4=3/4：距離1就差另一個1/4；

1/2+1/4+1/8=7/8：距離1還是差那1/8；

1/2+1/4+1/8+1/16=15/16

……

現在，你有一點點相信了嗎？

再來看看這道題！這其實已經是非常難的奧數題了，從前面的那幾道題中，你能得到什麼啟示呢？

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學習數學，其實真的很簡單！難的問題不會，那就

從簡單的問題中尋找規律！

1/3+1/9=4/9

1/3+1/9+1/27=（1+3+9）/27=13/27

1/3+1/9+1/27+1/81=40/81

發現這個規律了嗎？

1/2+1/4+1/8+……它永遠都離1差那麼一點！

1/3+1/9+1/27+……類似地，它永遠都離1/2差那麼一點！

1/4+1/8+1/16+……呢？

1/5+1/10+1/20+……這個規律還適用嗎？

03（1/2-1/3）中隱藏的規律

這麼簡單、如此基礎的一道分數減法題，能拓展出什麼樣的難題呢？千萬別小看它，從這裡開始才是我們今天要講的重點！為了能把這個問題理解透徹，還是用“數形結合”的方法，這樣可以更加直觀地理解。

一個邊長為1的正方形，按左右平均分成2（其中一個分數的分母）份，每一份是1/2；把左邊的1/2繼續平均分成3（另一個分數的分母）份，共有3份同樣大小的長方形，即1/2=3/6，與通分的方法一樣；每一塊長方形佔整個正方形的1/6；

同樣的道理：先把這個正方形從上到下平均分成3份，再把其中的一份分成2份，共有2個長方形；即1/3=2/6。

所以，1/2-1/3=1/6。

不要嫌囉嗦，關鍵是要讓孩子理解透徹！如果是1/2-1/13，它會有什麼規律呢？

有了上面的“囉嗦”做鋪墊，這個規律也就不難發現了！所以，無論兩個分數的分母有沒有公因數，把可以用以下形式表達出來：

即：1/a-1/b=（b-a）/（axb）。

如果是1/10-1/11呢？因為兩個分數的分母是兩個連續的整數，所以分子就等於1。

這就是下面這類題的規律之所在！

04分母的拆分：兩個連續因數的乘積

編輯搜圖

理解了其中了規律，結合因數的分解，上面的這道 題就可以口算了！最終的結果就是1-1/11=10/11。沒明白過來的話，再加一張圖就能明白了！

還是不明白的話，也沒關係。看看下面這個動畫就可以了！

1/6+1/12=1/2-1/3+1/3-1/4=1/2-1/4；其中的1/3被一加一減給抵銷了！

在此基礎上加1/20：1/4-1/5=1/20，這裡的1/4剛好又跟前面減的那個1/4抵銷了！繼續按照這個規律加下去的話，它的總和就是第一個分數分解出來的較大分數減去最後一分數分解出來的較小分數。

所以，這一型別問題巧算的規律，在於它可以把各個分數的分母分解成兩個連續整數的乘積；把這樣的一個分數分解成兩個分數，這兩個分數的分母分別是原分數分母的兩個因數；因為前後兩個分數分解出來的四個分數中，兩個相同的分數剛好一加一減抵銷了；1/2也可利用這個規律：

1/2=1/（1x2）=1/1-1/2=1/2

是不是超簡單！如果一切都這麼簡單的話，奧數題就不是奧數題了！接下來的關鍵在於，找出題目中的規律來，從而巧妙地利用這一特點推匯出算式的結果來。

05分母的兩個因數等差

下面這道題，算是這一規律的原形和基礎：分母分別可以分解成1x3、3x5、5x7、7x9、9x11、11x13，如果後面還有分項的話，一定是按照這個規律下去的；

為什麼分子變成2了呢？這樣豈不是無法利用前面所講的規律進行抵銷了？恰恰相反，分子是2讓問題更簡單了！

看看1/3-1/5，1/3分成的5份比1/5分成的3份剛好多2份，即1/3-1/5=2/15。這一型別題目的規律，正是我們前面提到的（b-a）/ （axb）；整體情況如下：

同樣的規律：2/3=2/（1x3）=1-1/3。所以，原式等於：1-1/13=12/13。

有趣吧？相信多數孩子在這個時候都會有點迫不及待地看看後面的奧數難題了！秒殺奧數題的那種成就感，

就像”吃雞“遊戲通關升級一樣有趣而充滿挑戰

，孩子能不喜歡數學嗎？