文/王德貴

中國古代數學鉅著《九章算數》是張蒼、耿壽昌所撰寫的一部數學專著。其內容十分豐富，總結了戰國、秦、漢時期的數學成就。是當時世界上最簡練有效的應用數學，它的出現標誌中國古代數學形成了完整的體系。其中有一道題是“五家共井”問題，原文如下：

五家共井，甲二綆不足，如乙一綆；乙三綆不足，如丙一綆；丙四綆不足，如丁一綆；丁五綆不足，如戊一綆；戊六綆不足，如甲一綆，皆及。

這道題的白話解釋是：五家合用一口井，甲家的2根井繩和乙家1根井繩總長為井深；乙家的3根井繩和丙家的1根井繩總長為井深；丙家的4根井繩和丁家1根井繩總長為井深；丁家的5根井繩和戊家1根井繩總長為井深；戊家的6根井繩和甲家1根井繩總長為井深。問：井深、各家井繩各多少？（每家的井繩均等長）

下面我們也來分析一下五家共井問題，並用Python、圖形化和APPInventor分別求解。

一、創意來源

在教授學生學習Python四級課程時，合用的練習和案例並不多，於是在搜尋案例過程中，看到了這個“五家共井”問題，經過研究發現比較適合用Python四級的知識點來解決，現分享出來。

二、設計思路

這是一個不定方程問題。遇到方程最初的想法還是用列舉法，在100範圍內執行後，無果。說明最小正整數解，一定比100大，於是擴大範圍到300，結果執行很久也沒有輸出結果，看來運算時間過長了，沒有能等到程式執行出結果。

於是想到庫函式sympy，它是一個符號計算的Python庫。我在文章《阿基米德群牛問題的分析及Python驗證》裡講過，這裡不再贅述。

透過解方程，得到關係式，從而求出最小正整數解。

在使用Python求解過程中，想試著再用Scratch和APPInventor求解，透過程式設計，執行，在對比三種程式碼之後很有啟發，下面把求解過程分享給大家。

三、程式設計

（一）Python程式設計

1。列舉法

這是一種最直接是思路，不知道具體結果，那就用列舉法測試。

由於執行時間較長，執行時將消耗時間打印出來了，此時顯示的是運行了a取值1到10的執行時間222秒。

2。時間複雜度

如果取值範圍在100以內，則時間複雜度是10的10次方，按執行時間算，運行了10個a將近4分鐘，那執行100個a，需要的時間就大約是40分鐘。

當a的取值在1~300時，執行1個a需要的時間將近30分鐘，那300個a就是近150個小時，需要6天多的時間。

這樣長的執行時間完全無法實用，必須透過縮減無效運算來最佳化程式。改為根據最短的繩子e作為列舉的主要引數，根據網路搜尋答案，我已經知道e的解小於100，等待一段時間能夠獲得答案。

執行10個e的時間將近是6分鐘，隨e值增大，單次運算時間還會縮短。最佳化後，執行時間大大縮短了，只需25分鐘左右，已經獲得了一組結果。

我們根據已有答案回推最佳化程式，最終獲得了結果。但是如果我們不知道答案的範圍，即使只在300範圍內試算，執行也要6個小時左右。列舉法在面對這樣一個不定方程的情況，如果不知道結果的範圍，那麼執行時間就會非常長！必須去尋找更簡捷的演算法。

3。方程解法的程式設計

（1）利用Sympy庫函式先求出不定方程的關係式

執行結果：

因為繩長是整數，所以e一定是76的倍數，因此可以求出最小正整數解：甲：265，乙：191，丙：148，丁：129，戊：76；井深：721。

即甲家井繩長265，乙家井繩長191，丙家井繩長148，丁家井繩長129，戊家井繩長76，井深721。

（二）Scratch程式設計

1。基本思想還是列舉，利用附加條件迴圈。

2。程式說明

注意的是，幾個條件都應該是“與”的關係，4個條件截圖不全。如果滿足條件，則說5秒。

程式是5重迴圈，每個都是300次，a在最外層，運行了1次，就相當於運行了4重300次，就是300×300×300×300次，用了將近24小時，a要是執行300次，總時長則大約需要300天！

3。最佳化

必須要最佳化程式，縮小取值範圍。

執行時間6個e，大約3。5小時，但e越大，相對執行時間會越短，所以總執行時間大大縮短了。

但是畢竟時間複雜度太大，Scratch執行效率又太低，總時長還是太大，即使用最佳化程式測試結果，也需要兩天左右的時間。

（三）APPInventor程式設計

1。設計思路

在Python測試時，在電腦上執行速度還是很快的了，但在手機上執行，則更依賴於手機的配置，明顯感覺執行的很慢很慢。所以加上了直接驗證的程式程式碼。

2。程式設計及說明

（1）變數和初始化

變數“列舉驗證”是使用列舉法還是驗證資料的轉換開關。

變數“分解列表”是在驗證的時候，分解輸入的資料，並放在列表中，以備程式呼叫。

初始化程式，一是初始化程式為列舉狀態，二是提示先選擇使用“列舉”還是“驗證”。

（2）列舉

點選“列舉”按鈕，輸入相關資料。因為驗證時不需要水平佈局4，被程式隱藏，所以使用“列舉”時，必須讓其顯示出來。

（3）驗證

點選“驗證”即可驗證資料是否正確。驗證資料只需要連續輸入資料，所以將水平佈局4隱藏。並將標籤1的文字做輸入提示。

（4）提交

提交時先讀取是驗證狀態，還是列舉狀態。

然後判斷輸入框是否為空，當不為空時，則執行程式。

驗證狀態：

先將輸入框的資料分解成列表，再判斷5組資料是否滿足條件。

如果滿足，則顯示五個對應的資料，並提示：驗證正確，否則提示：驗證錯誤。

這個執行速度很快。

列舉狀態：

按照提示，先輸入取值範圍和初始值和結束值，然後點選提交即可。 列舉APP介面如下。

在75-80範圍內，速度很快，但在75-300範圍內，手機一直在執行過程中沒有反饋，就像宕機了一樣，雖然我知道程式還在後臺執行。但這個執行時間肯定會很久，所以就沒有堅持下去的必要了。判斷滿足條件的5個值，程式碼如下。

程式進行了最佳化，a的取值由b開始到結束值，而b值由c到結束值，以此類推，d是取e到結束值，而e是從開始值到結束值。這樣執行時間會減少很多，但由於執行速度和時間與手機配置直接相關，所以雖然運算量已經大大減少，還是很難去等一個結果。

如果滿足條件，則顯示五家的繩長和井深，否則提示在開始值 到結束值範圍內無解。

四、測試與改進

三種方法，經過測試，用Python執行最快，APPInventor最慢（使用最佳化程式仍然無結果輸出），只是APPInventor更直觀些。大家有興趣，可以自行驗證，本文不做贅述，這也是自己的學習心得，有不妥之處，請不吝賜教！