近年來，許多地區在考察同學們的幾何綜合能力時，傾向於提出一些看似課本之外的新型概念，但實際上這些問題都是源自於古老而經典的初等平幾史。有些地方的輔導機構甚至校內同步已經提出了專題專法，如費馬點，阿波羅尼斯圓，米勒張角，阿基米德三角形等，我們今天來總覽一下，看三角形中滿足某種特點條件的點線有哪些可考：（以下均考慮任意銳角三角形）

1、到三頂點距離相等的點。

這是我們熟知的三角形的外心，它是三邊垂直平分線的交點，它對於每條邊的張角均等於該邊所對頂角的兩倍。外接圓的半徑可由正弦定理求得。

2、到三邊距離相等的點。

若這點在三角形內部，則是我們熟悉的內心；若指的是到三邊所在直線的距離，則還應包含三個旁心。它們均是由三條角平分線相交所得，內心是三條內角平分線，旁心是兩外角平分線與另一內角平分線。其半徑可由面積法求得：

注：旁切圓與三角形一邊的切點即是等分周長點，這是我們講過的奈格爾點的來源。

3、到三個頂點距離之和最小的點。

由競賽及中考炒起熱度的費馬點，它是一個典型的由旋轉構造的最短路徑問題。這個點有一個很強的特徵：它對每條邊的張角都是120°，也和手拉手模型有不解之緣。其最短路徑的求法採用勾股定理及可。

4、三個頂點到某一直線的距離相等。

這樣的直線有三條，恰是三角形三條中位線所在的直線。我們可以先退而假設有兩點A、B，尋找一條直線l，使得A、B到l的距離相等。這分兩種情況：l與AB連線平行或不平行。

最後再考慮三個點的系統，既得所求為三條中位線所在直線。

5、同時等分周長面積的直線。

若要等分三角形面積，中線就能做到，甚至我們可以過三角形內任一點作面積等分線（這絕不簡單）；而等分周長也有過旁切圓切點的塞瓦線，但令人驚訝的是，存在同時等分三角形周長與面積的直線！例如，對於等腰三角形來說，三線合一就是這樣的雙等分線。但更妙的是，對於任意三角形，這樣的直線總是存在的！一個已知的基本事實是：過三角形內心的直線，若平分三角形面積，必同時平分三角形周長（這一性質高中聯賽考過）。

這樣我們只需考慮直線滿足兩個條件：①過內心；②平分面積，即可實現雙平分。

最後我們照例提兩個開放性的問題，大家可以各抒己見：

1、到三邊距離之和最小的點是否存在？如果存在是在哪裡？

2、與三邊夾角相等的直線是否存在？如果存在滿足怎樣的性質