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第1章預備知識

1。1複習筆記

一、集合

1基本概念

集合是指若干個或無窮多個具有相同屬性的元（元素）的集體。通常，一個集合名稱用大寫字母表示，而集合中的某個元素用小寫字母表示。如果集合M由n（n≥0）個元素a1，a2，…，an組成，則稱集合M為有限集。如果一個集合中有無窮多個元素，則稱此集合為無限集。不包括任何元素的集合稱為空集。空集通常用Φ表示。如果M是一個集合，a是集合M中的一個元素，則記作a∈M，稱元素a屬於集合M；如果a不是集合M中的元素，則記作aM，稱元素a不屬於集合M。

（1）列舉法

用列舉法表示一個集合是將此集合中的元素全部列出來，或者列出若干項但能根據規律可知其所有的元素。例如：

大於1而小於100的所有整數的集合A可以表示為

A={2，3，4，…，99}

（2）性質敘述法

用性質敘述法表示一個集合是將集合中的元素所具有的屬性描述出來。例如：

大於1而小於100的所有整數的集合A可以表示為

A={a | 1< a <100 的所有整數}

設M與N為兩個集合，若M中的每個元素也為N的元素，則稱M為N的子集，記作MN，若MN且N中至少有一個元素aM，則稱M為N的真子集，記作MN。

2基本運算

（1）兩個集合的並

設有兩個集合M和N，它們的並集記作M∪N，定義如下：

M∪N={a | a∈M或a∈N}

（2）兩個集合的交

設有兩個集合M和N，它們的交集記作M∩N，定義如下：

M∩N={a | a∈M且a∈N}

兩個集合M和N的並、交均滿足交換律，即

M∪N=N∪M

M∩N=N∩M

（3）兩個集合的差

設有兩個集合M和N，它們的差集記作M-N，定義如下：

M-N={a | a∈M但aN}

兩個集合的差不滿足交換律，即

M-N≠N-M

對於集合的並、交、差有以下幾點基本性質：

①結合律

（A∩B）∩C=A∩（B∩C）

（A∪B）∪C=A∪（B∪C）

②分配律

A∩（B∪C）=（A∩B）∪（A∩C）

A∪（B∩C）=（A∪B）∩（A∪C）

③其他

（4）對映

對映的相關概念如下：

①設A、B是兩個非空集，如果根據一定的法則f，對於每一個x∈A，在B中都有唯一確定的y與之對應，則稱f為定義在A上而在B中取值的對映，記作f：A→B，並將x與y的關係記作y = f（x），x稱為自變元，y稱為在f作用下x的像；

②設給定對映f：A→B，且B = f（A），若對於每個y∈B僅有唯一的x∈A使f（x）= y，則稱f有逆對映f-1；

③若A、B兩個集合有一一對映f存在，使f（A）= B，則稱A與B成一一對應，A與B對等，記作A～B。

集合的對等具有以下性質：

自反性：A～A；

對稱性：若A～B，則B～A；

傳遞性：若A～B且B～C，則A～C。

3自然數集與數學歸納法

由所有自然陣列成的集合{1，2，3，…}稱為自然數集。自然數集是一個無限集。由自然陣列成的集合均是自然數集的子集。自然數集的子集可以是有限集，也可以是無限集。它們具有如下性質：

（1）在自然數集的任一非空子集M中，必定有一個最小數；

（2）設M是由自然數形成的集合，如果它含有1，2，…，k，並且當它含有數n-1，n-2，…，n-k（n>k）時，那麼它含有所有的自然數，即M是自然數集。

4笛卡兒積

設有n個集合D1，D2，…，Dn，此n個集合的笛卡兒積定義為

其中（d1，d2，…，dn）稱為n元組，di稱為n元組的第i個分量。

由笛卡兒積的定義可以看出，n個集合的笛卡兒積是以n元組為元素的集合，而每一個n元組中的第i個分量取自於第i個集合Di。

5二元關係

（1）笛卡兒積

設M和N是兩個集合，則其笛卡兒積

M×N={（x，y） | x∈M且y∈N}

其中每一個子集稱為在M×N上的一個二元關係。

如果M = N，則其笛卡兒積

M×M={（x，y） | x，y∈M}

其中每一個子集稱為在集合M上的一個二元關係，簡稱為在集合M上的一個關係。

（2）前後件、自反、對稱與傳遞

設R是集合M上的一個關係：

①如果（a，b）∈R，則稱a是b的關於R的前件，b是a的關於R的後件；

②如果對於每一個a∈M，都有（a，a）∈R，則稱關係R是自反的；如果對於任何a∈M，（a，a）∈R均不成立，則稱關係R是非自反的；

③如果（a，b）∈R時必有（b，a）∈R，則稱關係R是對稱的；