原題

原題：若實數a≥2，則下列不等式中一定成立的是？

A。（a+1）^（a+2）>（a+2）^（a+1）。

B。log（a+1）（以a為底）>log（a+2）（以a+1為底）。

C。log（a+1）（以a為底）<（a+1）/a。

D。log（a+2）（以a+1為底）<（a+2）/（a+1）。

圖一

這道題時一個選項選擇題，需要判斷下列不等式一定正確的是，關鍵點就是一定是成立的。

對於給出全是字母的不等式的判斷題，很多同學都是根據特殊值代入的方法來判斷每個選項的對錯，但是這樣的方法存在著很多弊端。

例如，選擇恰當的特殊值具有一定的機率性，即不是那麼簡單就能找到我們需要的特殊值；在使用特殊值的時候，且也只能說明該不等式是可能成立或者該不等式不是一定成立的結果，雖然排除了一項選項，但是對於真正的答案還是無法確認。

那該如何有效的判斷一定成立的不等式呢？

其實我們只需要將這些不等式與函式的性質結合起來，藉助函式的性質去判斷就可以迎刃而解。

而上述的這道題就藉助了函式的單調性來判斷的，下面我們就各個選項的講解過程一起來看看吧，我相信看完該解法，你會覺得：這題太簡單、太基礎了。

選項A

選項A是判斷兩個指數形式的數的大小，即判斷（a+1）^（a+2）>（a+2）^（a+1）。

這裡面我們發現這兩個指數形式的數，不僅不同底而且還是字母，只給出了a的範圍，這怎麼判斷？

其實我們只需要將該指數形式的兩個數進行轉化成一個函式的模式，再對該函式進行求導，求出該函式的單調性就可以判斷這兩個指數形式的大小了。

圖二

第一步，將（a+1）^（a+2）>（a+2）^（a+1）變成同一函式的形式。

因為a≥2，所以這裡的底數和真數以及冪指數都是大於等於2。

要想證明(a+1)^(a+2)>(a+2)^(a+1)成立，

只需要證明ln（a+1）^（a+2）>ln（a+2）^（a+1）成立，

只需（a+2）ln（a+1）>（a+1）ln（a+2）成立，

只需ln(a+1)/(a+1)>ln(a+2)/(a+2)成立。

我們仔細觀察

ln(a+1)/(a+1)>ln(a+2)/(a+2)

，會發現如果將（a+1）和（a+2）看成是一個數的話，這兩個數都是放在函式y=lnx/x當中，所以只要求出該函式的單調性，根據（a+1）和（a+2）的關係就可以判斷出

ln(a+1)/(a+1)>ln(a+2)/(a+2)成立與否。

第二步，求出該函式的單調性。

設f（x）=lnx/x，一次導數f＇（x）=（1－lnx）/x^2。

因為a≥2，所以a+1≥3，所以lnx≥ln3>lne=1，所以1－lnx<0。

所以一次導數f＇（x）<0，所以函式f（x）在區間［3，+∞）上是單調遞減函式。

第三步，根據函式的單調性判斷該不等式的對錯。

因為3≤a+1f（a+2），所以有

ln(a+1)/(a+1)>ln(a+2)/(a+2)成立，即(a+1)^(a+2)>(a+2)^(a+1)成立。

選項B

選項B是判斷不同底數的對數的大小關係，即log（a+1）（以a為底）>log（a+2）（以a+1為底）。

這個選項我們同樣可以

藉助函式的單調性

來判斷該不等式的對錯。

仔細觀察該不等式log（a+1）（以a為底）>log（a+2）（以a+1為底），我們發現

將a和a+1看成兩個數，則這兩個數都是放在函式y=log(x+1)（以x為底）中

，所以只需要求出該函式的單調性即可。

設

h(x)=log(x+1)（以x為底）

，要想求出該函式的單調性，需要對該函式求導，可是這個函式怎麼求導呢？

對數的底數是自變數的導數都沒見過，這怎麼求導啊？

其實我們只需要將該對數的底數變成定值就可以了，即

h(x)=

log（x+1）（以x為底）=

lg(x+1)/lgx

——將以x為底數的對數換成了以10 為底的對數。

一次導數

h＇(x)=

﹝［lg（x+1）］＇lgx－（lgx）＇lg（x+1）﹞/（lgx）^2=﹝lgx/［（x+1）·ln10］－lg（x+1）/（x·ln10）﹞/（lgx）^2=［

xlgx－(x+1)lg(x+1)

］/［x（x+1）ln10（lgx）^2］。

因為a≥2，所以x（x+1）ln10（lgx）^2>0恆成立，所以只需要判斷

xlgx－(x+1)lg(x+1)

與0的大小關係即可。

圖三

而

xlgx和(x+1)lg(x+1)

其實上就是將

x和x+1放入了函式xlgx中

。

設t（x）=xlgx，一次導數t＇（x）=lgx+1/ln10，因為x≥2，所以lgx>0，所以一次導數t＇（x）>0，所以函式t（x）=xlgx在區間［2，+∞）上是單調遞增函式。

因為

x<x+1，所以xlgx<(x+1)lg(x+1)

，所以xlgx－（x+1）lg（x+1）<0，所以一次導數h＇（x）<0，所以函式

h(x)是在區間[2，+∞）上是單調遞減函式。

因為

a<a+1

，所以

log(a+1)(以a為底)>log(a+2)(以a+1為底）

。

所以選項B是正確的。

選項C

選項C是log（a+1）（以a為底）<（a+1）/a，同樣藉助函式的單調性來判斷即可。

第一步，將不等式log（a+1）（以a為底）<（a+1）/a變形成同一個函式的形式。

要想證明log（a+1）（以a為底）<（a+1）/a成立，

只需證明lg（a+1）/lga<（a+1）/a成立，

只需證明

lg(a+1)/(a+1)<lga/a

成立。

所以我們就可以得到函式y=lgx/x，所以只需要得出該函式的單調性，再根據函式的單調性就可以判斷出

lg(a+1)/(a+1)和lga/a

的大小關係了。

設r（x）=lgx/x，則一次導數r＇（x）=（lge－lgx）/x^2。

令一次導數r＇（x）=0，所以有x=e。

當2≤x0，此時函式r（x）單調遞增；

當x>e時，一次導數r＇（x）<0，此時函式r（x）單調遞減。

圖四

所以當a≥3>e時，且ar（a+1）成立，即

lg(a+1)/(a+1)<lga/a成立。

所以還需要判斷當x=2時，即a=2時，a+1=3是否也成立。

因為log9(以2為底)>log8(以2為底)，所以2log3(以2為底)>3，所以log3(以2為底)>3/2=（2+1）/2。

(以2為底)>3，所以log3(以2為底)>3/2=（2+1）/2。

。

所以選項C是錯誤的。

選項D

選項D是是判斷不等式log（a+2）（以a+1為底）<（a+2）/（a+1）是否成立。

該選項還是根據函式的單調性來判斷。

要想證明不等式log（a+2）（以a+1為底）<（a+2）/（a+1）成立，

只需證明lg（a+2）/lg（a+1）<（a+2）/（a+1）成立，

只需證明lg（a+2）/（a+2）

只需求函式y=lgx/x在x≥3上的單調性，然後再根據函式的單調性得出lg（a+2）/（a+2）和lg（a+1）/（a+1）的大小關係。

在選項C中已經證明的函式y=lgx/x在x≥3上的單調性，即y=lgx/x在x≥3上的是單調遞減的函式。

因為a+2>a+1，所以有lg（a+2）/（a+2）

所以選項D是正確的。

總結

該題其實就是考察函式的單調性，對於函式的單調性是最基礎的知識，所以在出現類似的題型時，需要將該不等式進行轉化，變成兩個不同數值的同一個函式的形式，然後再根據函式的單調性以及這兩個數值的大小，比較出這兩個數的函式值的大小。

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