原題

原題：已知拋物線C：y^2=4x的焦點為F，準線為L，過點F的直線與拋物線交於兩點P（x1，y1），Q（x2，y2），點P在直線L上的射影為P1，則下列選項正確的是？

A。若x1+x2=6，則|PQ|=8

B。以PQ為直徑的圓與準線L相切

C。設M（0，1），則|PM|+|PP1|≥√2

D。過點M（0，1）與拋物線C有且只有一個公共點的直線有兩條

圖一

雖然該題是一個選擇題，但是其中包含的知識點卻是很多。

在此藉助四個選項分別說明存在的知識點。

第一個知識點

第一個知識點：給出拋物線y^2=2Px，P>0，過焦點F的直線與拋物線交於兩點P（x1，y1），Q（x2，y2），則|PQ|=x1+x2+P。

證明：設Q點的在準線上的射影為Q1，題中又給出點P在準線L上的射影為P1，所以根據拋物線上的點到準線的距離等於該點到焦點的距離有|PP1|=|PF|，|QQ1|=|QF|。

又因為P點、Q點到準線的距離分別為|PP1|=x1+P/2，|QQ1|=x2+P/2，所以|PQ|=|PF|+|QF|=|PP1|+|QQ1|=x1+P/2+x2+P/2=x1+x2+P。

題中的A選項中給出了x1+x2=6以及拋物線y^2=4x，所以P=2，所以|PQ|=x1+x2+P=6+2=8，所以A選項是正確的。

圖二

第二個知識點

第二個知識點：以PQ為直徑的圓與拋物線的準線L相切。

證明：設G點為PQ的中點，G1是G點在拋物線C的準線上的射影。

由梯形中位線定理得到|GG1|=（|PP1|+|QQ1|）/2。

根據拋物線上的點到準線的距離等於該點到焦點的距離有|PP1|=|PF|，|QQ1|=|QF|，所以有|GG1|=（|PP1|+|QQ1|）/2=（|PF|+|QF|）/2=|PQ|/2。

所以點G到準線的距離等於以PQ為直徑圓的半徑，所以以PQ為直徑的圓與拋物線的準線L相切。

所以選項B是正確的。

第三個知識點

第三個知識點：設M（0，1），當M、P、F三點在一條直線上時，則|PM|+|PP1| 的距離最小。

圖三

選項C中設M（0，1），則|PM|+|PP1|≥√2，所以只要求出PM|+|PP1|的最小值，看其最小值是否等於√2即可。

那什麼時候|PM|+|PP1|取最小值呢？如圖三中當P點在N點的位置時，|PM|+|PP1|取最小值，而此時|PM|+|PP1|的值恰好是|MF|的距離。

因為M（0，1）和F（1，0）都是定點，又在

直角座標系

中y軸和x軸上，所以根據在直角角

三角形

MOF中，根據勾股定理得到MF=√2。

所以設M（0，1），則|PM|+|PP1|≥√2，所以選項C正確。

第四個知識點

第四個知識點：過點M（0，1）與拋物線C有且只有一個公共點的直線有三條。

當過點M（0，1）的直線的斜率為0的時候，該直線為y=1，與拋物線C有一個交點；

當過點M（0，1）的直線的斜率不存在的時候，該直線為y軸，與拋物線C有一個交點；

當過點M（0，1）的直線的斜率存在且不為0的時候，設該直線為y=kx+1，將拋物線方程與該直線y=kx+1聯立得到k^2·x^2+（2k－4）x+1=0，令判別式等於0，即△=（2k－4）^2－4k^2=0，解得到k=1，所以當過點M（0，1）的直線的斜率為1的直線，即y=x+1時，與該直線與拋物線C有一個焦點。

所以選項D錯誤。

總結

選項D中，在判斷該直線與拋物線的有一個焦點的直線個數時，要考慮三個方面：第一個是當斜率為0的時候；第二個是當斜率不存在的時候；第三個當斜率存在且不為0的時候。

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