一、命題4

如果兩個三角形中，一個的兩邊分別等於另一個的兩邊，且相等線段所夾的角相等，那麼，它們的底邊相等，兩個三角形全等，且其餘的角也分別等於相應的角，即等邊所對的角。

圖4

設在△ABC和△DEF中，AB＝DE，AC＝DF，且∠BAC＝∠EDF。那麼，就認為底邊BC＝EF，△ABC≌△DEF，並且這兩個三角形中相等邊所對的另外兩個角也相等。∠ABC＝∠DEF，∠ACB＝∠DFE。

如果把△ABC移動到△DEF上，若點A落在點D上，直線AB放在DE上，因為AB＝DE，所以點B和點E重合。又∠BAC＝∠EDF，線段AB與DE重合，所以AC與DF重合。又因為AC＝DF，所以點C與點F重合。點B已經確定與點E重合，所以低BC與低EF重合。如若B與E重合，C與F重合，低BC不與低EF重合，兩條直線會圍成一塊有長有寬的區域，這是不可能的［公設1］。因此，低BC與低EF重合，且BC＝EF［公理4］。所以整個△ABC與整個△DEF重合，於是得出它們全等的結論［公理4］。顯然其餘的角也與其餘的角重合，於是它們相等［公理4］，即∠ABC＝∠DEF，∠ACB＝∠DFE［公理4］。

綜上，如果兩個三角形中，一個的兩邊分別等於另外一個的兩邊，且相等線段所夾的角相等，那麼，它們的底邊也相等，兩個三角全等，且其餘的角也分別等於相應的角，即等邊對應的角。這就是命題4的結論。

二、命題5

在等腰三角形中，兩低邊彼此相等，若向下延長兩腰，則在底邊下面的兩個角也彼此相等。

圖5

已知在等腰三角形ABC中，邊AB＝邊AC，分別延長AB、AC成直線BD、CE［公設2］。可證明∠ABC＝∠ACB，且∠CBD＝∠BCE。

在BD上任取一點F，在較大的AE上擷取一段AG＝AF［命題3］。連線FC和GB［公設1］。

因為AF等於AG，AB等於AC，兩邊FA和AC分別與邊GA和AB相等，且它們有一個公共角FAG。所以，底FC＝底GB，△AFC≌△AGB，剩下的相等的邊所對的角也分別相等，即∠ACF＝∠ABG，∠AFC＝∠AGB［命題4］。又因為整體AF等於整體，它們中的AB等於AC，剩下的BF等於剩下的CG［公理3］

但上面已證明FC＝GB，所以邊BF＝CG，FC＝＝GB，且∠BFC＝∠CGB。底邊BC為公共邊，所以，△BFC≌△CGB。等邊對應的角也分別相等［命題4］。

所以∠FBC＝∠GCB，∠BCF等於∠CBG。已經證明整個∠ABG＝整個∠ACF，且∠CBG＝∠BCF，剩下的∠ABC＝剩下的∠ACB［公理3］。

綜上，在等腰三角形中，兩底角彼此相等，且如果沿兩腰作延長線，延長線與底邊所成的角也彼此相等。這就是命題5的結論。

三、命題6

在一個三角形裡，如果有兩個角彼此相等，那麼這兩個角所對的邊也彼此相等。已知在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，可證邊AB＝邊AC。

圖6

假設AB不等於AC，且AB＞AC。線上段AB上作DB等於AC［命題3］。連線DC［公設1］。因為DB＝AC，BC是公共邊，兩邊DB、BC相等，且∠DBC＝∠ACB，所以底邊DC＝底邊AB，△DBC≌△ACB［命題4］，即小的等於大的。假設不正確［公理5］。所以AB＝AC。

綜上，如果在一個三角形中，有兩個角彼此相等，那麼這兩個等角對應的邊也相等。這就是命題6的決論。