01

上海風味中考數學壓軸題題幹及附圖

（

14

分

）如圖

1

，

矩形

ABCD

中，點

E

是邊

CD

的中點，點

F

在邊

AD

上，

EF

⊥

BD

，垂足為

G

。

(

Ⅰ

)

如圖

2

，當

矩形

ABCD

為正方形時，求

DG：GB

值；

(

Ⅱ

)

若

DG：GB=1：5

，

AF=x

，

AB=y

，求

y

與

x

的函式關係式，並寫出自變數

x

的取值範圍；

(

Ш

)

如圖3，若

AB=4cm

，以點

A

為圓心，

3cm

長為半徑的⊙

A

與以點

B

為圓心的⊙

B

外切，以點

F

為圓心的⊙

F

與⊙

A

、⊙

B

都內切，求

DG：GB

值。

題幹附圖。

第一問附圖。

第二問附圖。

第三文附圖。

【解前分析】

注意“若”字。這個字是臨時性的。人走茶涼，注意入鄉隨俗。

02

第一問的4種解法及解後感悟昇華

解法一：

利用正方形對角線、三角形中位線。

連線AC交BD於點O。

∵正方形對角線相互垂直平分，

∴

AC

⊥

BD

，

BD=2OD

，

∵

AC

⊥

BD

，

EF

⊥

BD

，

∴

EG

∥

CO

，

而點

E

為

CD

中點，

∴點

G

為

OD

中點，

∴

OG=DG

，已證

BD=2OD

，

∴

BD=4DG

，

∴

DG：GB=1：3

。

第一問的解法一附圖。

解法二：

利用正方形性質、等腰直角三角形斜邊是直角邊的(根號2)倍。

不用任何輔助線。

第一問的解法二過程，下接附圖：

第一問的解法二附圖。

解法三：

利用正方形性質、直角三角形斜邊上的中線等於斜邊的一半。

輔助線連線AC。

思路如下：

①證

DG

是

Rt

△

DEF

斜邊上的中線；

②證

EF

是△

DAC

的中位線。

第一問的解法三附圖。

解法四：

作輔助線構造等腰直角三角形或構造全等，利用平行相似成比例。

延長FE交BC的延長線交於點H。

第一問的解法四附圖，下接過程：

∵BD是正方形ABCD的對角線，

∴∠

2=45

°，而

EG

⊥

DG

，

∴∠

3=45

°，∠

4=45

°

——-

①

∵四邊形

ABCD

為正方形，

∴∠

ADC=

∠

C=90

°

——————

②

由

①②知△

FDE

和△

HCE

均為等腰直角三角形，

∴

FD=DE

，

EC=HC

，

而點

E

為

CD

中點，

∴

DE=EC

，

∴

FD=HC=（1/2）DC

，

由正方形

ABCD

知

BC=DC=2HC

且

FD

∥

BH

，

∴

DG：GB=FD：BH

=FD：（BC+HC）

=FD：（2FD+FD）=1：3

。

第一問解後感悟昇華

正方形性質、等腰直角三角形性質、三角形中位線、直角三角形斜邊上的中線、三角形全等、三角形相似、平行線截線段成比例等，這些知識點的掌握以及靈活運用，如何達到？

平時注意探究多種解法；做完題後注意體會鞏固、消化吸收。就這兩點，再無好方法。

至於原答案，您可以自己查閱。

提醒：

書寫解題步驟時，別嫌麻煩囉嗦，務必詳細書寫，別奢望閱卷老師的理解和寬容。

都在認真聽，都在消化體會。

03

第二問的詳細求解及解後感悟昇華

求解第二問，關鍵注意三點：

①

點E是矩形ABCD邊CD的中點；

②

EF⊥BD；

③

DG：GB=1：5。

解法一：

利用正方形對角線、三角形中位線。

連線ACBD交於點O，連線OE。

∵矩形對角線相互平分，

∴

OD=OB

，

∵

DG：GB=1：5

，∴

BD=6DG

，

∴

OD=3DG

，

則

DG：OG=1：2————————

①

∵四邊形

ABCD

為矩形，

∴

AD=BC

且

AD

∥

BC

，

∵點

E

、點

O

分別為

CD

、

BD

中點，

∴

OE

∥

AD

∥

BC

且

BC=2OE——

②

第二問的解法一附圖，下接過程：

第二問的解法一。

解法二：

不作任何輔助線，僅利用相似或三角函式轉換，勾股定理。

您敢相信嗎？

第二問的解法二附圖，下接過程：

第二問的詳細過程。

解法二點評：

另設兩個參量，設而不求，巧妙消元。運用方程思想、轉化思想求解幾何題。

保證搜遍全網無此解法。

至於解法三，您可參閱原答案。

第二問解後感悟昇華

要善於思考，不走尋常路。用切菜刀剃頭也未嘗不可。

學會關鍵時刻靠自己。靠山山倒。養成自己善於思考探究，杜絕不加思考照抄答案。解完題可以參閱答案。

依靠自己獨立思考，

04

第三問的分析、求解及拓展延伸

第三問原題沒給圖！我曾呼籲考生鍛鍊自己精準畫圖，這不，上海命題就突出了此項要求。

解前粗略分析判斷

⊙

A

與⊙

B

外切，切點只能在線段

AB

上。⊙

A

大。⊙

B

小。

⊙

F

與⊙

A

、⊙

B

都內切，啥意思？

首先，

⊙

F

根本不可能在半徑僅

1cm

⊙

B

內部。

其次，假如

⊙

F

在⊙

A

內部，即⊙

F

半徑較小、小於

3cm

，那麼⊙

F

亦不可能把

（

與⊙

A

相外切的

）

⊙

B

納入自己內部。

所以，

⊙

F

最大，⊙

A

和⊙

B

均在⊙

F

內部。

搞清楚位置關係後，便可立即畫圖。

第三問粗略分析附圖。

如何開啟思路

從內切、外切入手。兵法雲兩圓的連心線必過切點。那就抓緊連。

連完之後，不難發現：對

Rt

△

AFB

適用勾股定理，由此關係式能求出⊙

F

半徑！

第三問解前分析過程，下接附圖：

第三問的分析附圖。

往下，求

DG：GB

，需注意利用哪些條件？

①

EF

⊥

BD

；②矩形對邊相等、四個直角；③點

E

為

CD

中點；④點

F

具體在

AD

什麼位置。

已經知道了AF=3cm，即點F在⊙A上，

立即重新畫圖如下！精準的圖形有助於思考！

第三問的準確圖。

第三文分析過程。

第三問的分析附圖。

有中點、有平行情況下，過中點E處作輔助線是較好的方案。

延長FE交BC的延長線交於點P。

在初中階段，以上就是較簡便的解法了。

第三問求解附圖。

第三問的拓展延伸

拓展延伸一

高中生看後，能想到建座標系，利用

BD

⊥

EF

，向量

BD

與向量

EF

乘積為零，求出

AD

。但這也並不簡便。

拓展延伸一高種解法附圖

拓展延伸二

初中生也許想到建座標系，利用

BD

⊥

EF

，兩直線解析式中的

k

乘積為

（-1）

，求解

AD

。但不如利用垂直、透過三角函式轉換。

拓展延伸二初中解法附圖

拓展延伸三

第三問情形下，

⊙

A

與

BD

是否相切？

這不難判斷。

方法一：

過圓心A作AT⊥BD於點T，比較AT的長與⊙A半徑3的大小。

求

AT

，利用面積法。

拓展延伸三的方法一，下接附圖：

拓展延伸三方法一的附圖

方法二：

過點B作⊙A的切線，比較該切線與BD的傾斜程度。即比較兩直線解析式中的k值大小。

拓展延伸三的方法二，下接附圖及過程：

拓展延伸三的方法二附圖，下接過程：

拓展延伸三結束。

說白了，這項拓展延伸，重在考查有關根式分析推理，意思不大。

【文末總結昇華】

備戰中考，貴在總結，貴在探究。

把一道題的前因後果分析透徹，探究多種解法，並加以體會總結，消化為自己的，達到運用自如，這才是王道。

做題過多，自認為見多識廣，再次見到同類題，還是解不出。我們必須跳出這個怪圈。

多總結體會，跳出做題多還是不會的怪圈

【作者簡介】

中共黨員，高中教務主任，中考命題組成員。持續釋出中考、高考壓軸大題的詳細解析，解法詳細獨特。

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