將矩形ABCD繞點A順時針旋轉α（0°＜α＜360°），得到矩形AEFG．

（1）如圖，當點E在BD上時．求證：FD=CD；

（2）當α為何值時，GC=GB？畫出圖形，並說明理由．

【分析】（1）先運用SAS判定△AEG≌Rt△FDG，可得DF=AE，再根據AE=AB=CD，即可得出CD=DF；

（2）當GB=GC時，點G在BC的垂直平分線上，分兩種情況討論，依據∠DAG=60°，即可得到旋轉角α的度數。

解：（1）如圖，設EF與AD的交點為H。

由旋轉性質可得，AE=AB，∠AEF=∠ABC=∠DAB=90°，EF=BC=AD，

∴∠AEB=∠ABE，

又∵∠ABE+∠HDE=90°，∠AEB+∠DEH＝90°，

∴∠EDH=∠DEH，

∴DH=EH，

∴FH=AH，

又∵∠DHF=∠EHA，

∴△AEH≌△FDH（SAS），

∴DF=AE，

又∵AE=AB=CD，

∴CD=DF。

（2）當GB=GC時，點G在BC的垂直平分線上，

分兩種情況討論：

①如圖，當點G在AD右側時，取BC的中點H，連線GH交AD於M，

∵GC=GB，G是BC的中點，

∴GH⊥BC，

∴四邊形ABHM是矩形，

∴AM=BH=AD/2=AG/2，

∴GM垂直平分AD，

∴GD=GA=DA，

∴△ADG是等邊三角形，

∴∠DAG=60°，

∴旋轉角α=60°。

②如圖，當點G在AD左側時，

同理可得△ADG是等邊三角形，

∴∠DAG=60°，

∴旋轉角α=360°﹣60°=300°．

【本題考點】

1。 旋轉的性質，解題時注意對應點與旋轉中心所連線段的夾角等於旋轉角，

2。 全等三角形的判定與性質的運用，

3。 等邊三角形的性質。