例題：

如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，垂足為H，連結AC，過弧BD上一點E作EG∥AC交CD的延長線於點G，連結AE交CD於點F，且EG＝FG，連結CE。

1。 求證：△ECF∽△GCE；

2。 求證：EG是⊙O的切線；

3。 延長AB交GE的延長線於點M，若tanG＝3/4，AH＝3√3，求EM的值。

分析：

1。 由AC∥EG，垂徑定理即可推出∠G=∠CEF，再透過∠ECF＝∠GCE，即可得到△ECF～△GCE。

2。 根據圓的切線定義，連線OE後，只要能證明OE⊥GE，則GE就是⊙O的切線。

3。 根據已知條件，先計算出⊙O的半徑，再證明

△AHC～△MEO，然後根據相似三角形的邊對應成比例即可得到EM的值。

【解答過程】

1。 證明：

∵ AC∥EG，

∴ ∠G＝∠ACG。

∵ AB⊥CD，

∴ 弧AD＝弧AC，

∴ ∠CEF＝∠ACG，

∴ ∠G＝∠CEF。

∵ ∠ECF＝∠GCE，

∴△ECF∽△GCE。

2。 證明：

如圖，連線OE，

∵ GF＝GE，

∴ ∠GFE=∠GEF=∠AFH。

∵ OA＝OE，

∴ ∠OAE＝∠OEA，

∵∠AFH＋∠FAH＝90°，

∴ ∠GEF＋∠AEO＝90°，

∴ ∠GEO＝90°，

∴ GE⊥OE，

∴ EG是⊙O的切線。

3。 解：如圖，連線OC。

設⊙O的半徑為r．

∵ ∠ACH＝∠G，

∴ tan∠ACH＝tan∠G＝3/4。

在Rt△AHC中，tan∠ACH＝AH/CH，

∵ AH＝3√3，

∴ CH＝4√3。

在Rt△HOC中，

∵ OC＝r，

∴ OH＝r﹣3√3，CH＝4√3，

所以，由勾股定理得：

OH^2＋CH^2＝OC^2，

即 （r－3√3）^2＋48＝r^2，

解得 r＝25√3/6。

又∵ GM∥AC，

∴∠CAH＝∠M。

∵ ∠OEM＝∠AHC，

∴ △AHC∽△MEO，

∴ AH/ME＝HC/EO，

即 3√3/ME＝4√3/（25√3/6）

∴ EM＝25√3/8。